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📖 Le cours

L'arithmétique est fondamentale pour le Brevet. Les notions de PGCD et de fractions irréductibles sont très fréquentes.

I. Divisibilité et diviseurs

Définition

Un entier \( a \) est divisible par un entier \( b \) (non nul) s'il existe un entier \( k \) tel que \( a = b \times k \).

On dit que \( b \) est un diviseur de \( a \), ou que \( a \) est un multiple de \( b \).

Exemple

24 est divisible par 6 car \( 24 = 6 \times 4 \)

Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Critères de divisibilité

  • Par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
  • Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3
  • Par 4 : les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4
  • Par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5
  • Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9
  • Par 10 : le nombre se termine par 0

II. Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples

Nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

2 est le seul nombre premier pair.

Méthode : Tester si un nombre est premier

Pour tester si un nombre \( n \) est premier :

  1. Vérifier s'il est divisible par 2, 3, 5, 7...
  2. S'arrêter dès qu'on trouve un diviseur (il n'est pas premier)
  3. Si aucun diviseur jusqu'à \( \sqrt{n} \), alors il est premier

III. Décomposition en facteurs premiers

Théorème fondamental

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s'écrire de manière unique comme produit de nombres premiers.

Exemple

\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Méthode : Décomposer un nombre

Diviser successivement par les nombres premiers dans l'ordre : 2, 3, 5, 7, 11...

60 │ 2
30 │ 2
15 │ 3
 5 │ 5
 1 │

Donc \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

IV. PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Définition

Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.

Méthode 1 : Par les diviseurs

Lister tous les diviseurs communs et prendre le plus grand.

Exemple : PGCD(12, 18)

  • Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
  • Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6
  • PGCD(12, 18) = 6

Méthode 2 : Algorithme d'Euclide

Effectuer des divisions euclidiennes successives :

  1. Diviser le plus grand par le plus petit
  2. Remplacer le plus grand par le reste
  3. Continuer jusqu'à obtenir un reste nul
  4. Le dernier reste non nul est le PGCD

Exemple : PGCD(84, 36)

84 = 36 × 2 + 12
36 = 12 × 3 + 0

PGCD(84, 36) = 12

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.

V. Fractions irréductibles

Définition

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (PGCD = 1).

Méthode : Simplifier une fraction

  1. Calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur
  2. Diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD

Exemple : Simplifier \( \frac{48}{60} \)

PGCD(48, 60) = 12

\( \frac{48}{60} = \frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5} \)

VI. PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Définition

Le PPCM de deux nombres est le plus petit multiple commun (non nul) à ces deux nombres.

Formule

\( a \times b = \text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) \)

Donc : \( \text{PPCM}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{PGCD}(a,b)} \)

📔 Cahier d'élève

Cours Arithmétique 2025 - Page 1
Divisibilité et diviseurs - 2025
Cours Arithmétique 2025 - Page 2
Nombres premiers et PGCD - 2025

💪 S'entraîner

⭐ Niveau 1 - Facile

Exercices de base

Exercice 1 : Diviseurs de 24

Lister tous les diviseurs du nombre 24.

Solution détaillée

Un diviseur de 24 est un nombre qui divise 24 sans reste.

On teste tous les nombres de 1 à 24 :

  • 24 ÷ 1 = 24 ✓
  • 24 ÷ 2 = 12 ✓
  • 24 ÷ 3 = 8 ✓
  • 24 ÷ 4 = 6 ✓
  • 24 ÷ 5 = 4,8 ✗
  • 24 ÷ 6 = 4 ✓
  • 24 ÷ 8 = 3 ✓
  • 24 ÷ 12 = 2 ✓
  • 24 ÷ 24 = 1 ✓
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Exercice 2 : Nombres premiers

Parmi les nombres suivants, indiquer lesquels sont premiers : 2, 4, 7, 9, 11, 15.

Solution détaillée

Un nombre premier a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.

  • 2 : diviseurs = {1, 2} → PREMIER ✓
  • 4 : diviseurs = {1, 2, 4} → PAS PREMIER ✗
  • 7 : diviseurs = {1, 7} → PREMIER ✓
  • 9 : diviseurs = {1, 3, 9} → PAS PREMIER ✗
  • 11 : diviseurs = {1, 11} → PREMIER ✓
  • 15 : diviseurs = {1, 3, 5, 15} → PAS PREMIER ✗
Les nombres premiers sont : 2, 7, 11

Exercice 3 : Simplification de fraction

Simplifier la fraction 12/18 pour la rendre irréductible.

Solution détaillée

Étape 1 : Trouver le PGCD

Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

PGCD(12, 18) = 6

Étape 2 : Diviser par le PGCD

12 ÷ 6 = 2

18 ÷ 6 = 3

12/18 = 2/3 (irréductible)

Exercice 4 : PGCD

Calculer le PGCD de 12 et 18.

Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6

PGCD(12, 18) = 6

Exercice 5 : Multiple commun

Trouver le plus petit multiple commun de 4 et 6.

Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24...

Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24...

Le plus petit multiple commun est 12.

PPCM(4, 6) = 12

Exercice 6 : Décomposition simple

Décomposer 20 en produit de facteurs premiers.

20 │ 2
10 │ 2
 5 │ 5
 1 │
20 = 2² × 5

Exercice 7 : Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne de 47 par 5.

47 = 5 × q + r avec r < 5

47 = 5 × 9 + 2

Quotient = 9, Reste = 2

Exercice 8 : Critères de divisibilité

Le nombre 132 est-il divisible par 3 ? par 4 ? par 9 ?

Par 3 : Somme des chiffres = 1+3+2 = 6, divisible par 3 → OUI ✓

Par 4 : Les 2 derniers chiffres : 32, divisible par 4 (32÷4=8) → OUI ✓

Par 9 : Somme des chiffres = 6, pas divisible par 9 → NON ✗

132 est divisible par 3 et 4, mais pas par 9

Exercice 9 : Fraction irréductible

La fraction 15/25 est-elle irréductible ? Si non, la simplifier.

PGCD(15, 25) = 5 ≠ 1

La fraction n'est PAS irréductible.

15 ÷ 5 = 3

25 ÷ 5 = 5

15/25 = 3/5 (irréductible)