Chapitre 11 : Théorème de Thalès

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📖 Le cours

Le théorème de Thalès est INCONTOURNABLE au Brevet ! Maîtrisez-le parfaitement.

I. Configuration de Thalès

Définition

On dit que deux droites sont en configuration de Thalès quand :

Deux droites sécantes en un point
Deux droites parallèles qui coupent les premières

Configuration en "papillon"

Deux droites (AB) et (CD) sécantes en O, les droites (BC) et (DE) sont parralèles.

Configuration en "triangle"

Triangle ABC avec un point M appartenant au segment [AB] et N appartient au segment [AC], les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

II. Théorème de Thalès

Théorème

Si deux droites sont en configuration de Thalès, alors les longueurs des côtés sont proportionnelles.

Configuration triangle :

Si (MN) // (BC), alors : \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \)

Rédaction pour calculer une longueur (hypothèse, propriété, conclusion).

Vérifier la configuration de Thalès (hypothèse n°1).
Identifier les droites parallèles (hypothèse n°2).
Citer le nom du théorème utilisée (propriété).
Écrire l'égalité de Thalès (conclusion).
Remplacer les valeurs connues.
Résoudre l'équation (produit en croix).

Exemple

Triangle ABC, M sur [AB] avec AM = 3 cm, AB = 5 cm

N sur [AC] avec AN = 4,5 cm, (MN) // (BC)

Calculer AC :

Rédaction :

On sait que : M ∈ [AB] , N ∈ [AC]

et (MN) // (BC).

Donc, d'après le théorème de Thamès :

\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)

\( \frac{3}{5} = \frac{4,5}{AC} \)

Donc \( AC = \frac{5 \times 4,5}{3} = \frac{22,5}{3} = \)7,5 cm

III. Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque de Thalès

Si les points A,B,M et A,C,N sont alignés dans le même ordre,

et si \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \),

alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Rédaction pour démontrer que deux droites sont parallèles (hypothèse, propriété, conclusion)

Vérifier que M, N sont sur les côtés du triangle, ou cités l'alignement des points dans le même ordre.
Calculer séparément \( \frac{AM}{AB} \) et \( \frac{AN}{AC} \)
Si les rapports sont égaux → (MN) // (BC)
Si les rapports sont différents → (MN) ∦ (BC)

Exemple

AM = 2,4 cm, AB = 6 cm, AN = 3,6 cm, AC = 9 cm, les droites (MN) et (BC) sont elles parallèles ?

On sait que les points A,B,M et A,C,N sont alignés dans le même ordre,

d'une part \( \frac{AM}{AB} = \frac{2,4}{6} = 0,4 \)

d'autre part \( \frac{AN}{AC} = \frac{3,6}{9} = 0,4 \)

Donc \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \),

D'après la réciproque du théorème de Thalès,

les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

IV. Contraposée du théorème de Thalès

Contraposée du téorème de Thalès

Si \( \frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \) , alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

A retenir : Si les rapports ne sont PAS égaux alors les droites ne sont PAS parallèles.

Quand utiliser la contraposée ?

Pour démontrer que deux droites ne sont PAS parallèles :

Calculer les deux rapports.
Montrer qu'ils sont différents.
Enoncer la propriété utilisée.
Conclure : les droites ne sont pas parallèles.

V. Agrandissement et réduction

Rapport d'agrandissement/réduction

Si deux figures sont en configuration de Thalès avec rapport k :

Les longueurs sont multipliées par k
Les aires sont multipliées par k²
Les volumes sont multipliés par k³

Exemples

Un triangle est agrandi avec un rapport k = 3

Côté 4 cm → 12 cm (×3)
Aire 10 cm² → 90 cm² (×9)
Aire 10 cm² → 90 cm² (×9)

Une Boule est agrandi avec un rapport k = 3

rayon 2 cm → 6 cm (×3)
Surface de la sphère → × 4
Volume → × 8

📔 Cahier d'élève

Cours Thalès 2025 - Page 1 — Configurations de Thalès - 2025

Cours Thalès 2025 - Page 2 — Théorème et réciproque - 2025

💪 S'entraîner

⭐ Niveau 1 - Facile

Exercices de base

Exercice 1 : Configuration simple

Triangle ABC, M sur [AB], N sur [AC], (MN) // (BC)

AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 4 cm. Calculer AC.

Solution détaillée

Étape 1 : Configuration de Thalès

(MN) // (BC) → On peut appliquer Thalès

Étape 2 : Égalité de Thalès

\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)

Étape 3 : Remplacer les valeurs

\( \frac{3}{9} = \frac{4}{AC} \)

Étape 4 : Produit en croix

\( 3 \times AC = 9 \times 4 \)

\( 3 \times AC = 36 \)

\( AC = 36 \div 3 = 12 \) cm

AC = 12 cm

Exercice 2 : Calculer MN

Triangle DEF, M sur [DE], N sur [DF], (MN) // (EF)

DM = 2 cm, DE = 8 cm, EF = 12 cm. Calculer MN.

Solution détaillée

\( \frac{DM}{DE} = \frac{MN}{EF} \)

\( \frac{2}{8} = \frac{MN}{12} \)

\( MN = \frac{2 \times 12}{8} = \frac{24}{8} = 3 \) cm

MN = 3 cm

Exercice 3 : Rapport simple

AM = 5 cm, AB = 15 cm. Calculer le rapport \( \frac{AM}{AB} \)

\( \frac{AM}{AB} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)

1/3

Exercice 4 : Vérifier parallélisme

AM = 4, AB = 10, AN = 6, AC = 15. (MN) // (BC) ?

\( \frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = 0,4 \)

\( \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = 0,4 \)

Les rapports sont égaux

OUI, (MN) // (BC)

Exercice 5 : Configuration papillon

Droites (AB) et (CD) sécantes en O, (BC) // (DE)

OA = 3, OB = 6, OC = 5. Calculer OD.

\( \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \)

\( \frac{3}{6} = \frac{5}{OD} \)

\( OD = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \) cm

OD = 10 cm

Exercice 6 : Calcul avec décimaux

AM = 2,5 cm, AB = 7,5 cm, MN = 3 cm. Calculer BC.

\( \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \)

\( \frac{2,5}{7,5} = \frac{3}{BC} \)

\( BC = \frac{7,5 \times 3}{2,5} = \frac{22,5}{2,5} = 9 \) cm

BC = 9 cm

Exercice 7 : Rapport d'agrandissement

Un triangle est agrandi avec k = 2. Un côté de 6 cm devient ?

Longueur × k = 6 × 2 = 12 cm

12 cm

Exercice 8 : Identifier configuration

Triangle ABC, M milieu de [AB], N milieu de [AC]. (MN) // (BC) ?

M milieu → AM = AB/2 donc AM/AB = 1/2

N milieu → AN = AC/2 donc AN/AC = 1/2

Rapports égaux → parallèles

OUI, (MN) // (BC)

Exercice 9 : Calcul inverse

(MN) // (BC), AM/AB = 1/4, BC = 20 cm. Calculer MN.

\( \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{4} \)

\( MN = BC \times \frac{1}{4} = 20 \times \frac{1}{4} = 5 \) cm

MN = 5 cm

⭐⭐ Niveau 2 - Moyen

Exercices intermédiaires

Exercice 1 : Calcul en deux étapes

Triangle ABC, M sur [AB], N sur [AC], (MN) // (BC)

AM = 4,2 cm, MB = 2,8 cm, AN = 6,3 cm. Calculer AC puis MN sachant BC = 15 cm.

Solution détaillée

Étape 1 : Calculer AB

AB = AM + MB = 4,2 + 2,8 = 7 cm

Étape 2 : Calculer AC

\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)

\( \frac{4,2}{7} = \frac{6,3}{AC} \)

\( AC = \frac{7 \times 6,3}{4,2} = \frac{44,1}{4,2} = 10,5 \) cm

Étape 3 : Calculer MN

\( \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{4,2}{7} = 0,6 \)

\( MN = 0,6 \times 15 = 9 \) cm

AC = 10,5 cm ; MN = 9 cm

Exercice 2 : Réciproque avec fractions

AM = 3/2 cm, AB = 9/2 cm, AN = 2 cm, AC = 6 cm. (MN) // (BC) ?

\( \frac{AM}{AB} = \frac{3/2}{9/2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{AN}{AC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Rapports égaux

OUI, (MN) // (BC)

Exercice 3 : Configuration papillon complexe

(AB) et (CD) sécantes en O, (AC) // (BD)

OA = 6 cm, OB = 4,5 cm, OC = 8 cm, AC = 10 cm. Calculer OD et BD.

\( \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \)

\( \frac{6}{4,5} = \frac{8}{OD} \)

\( OD = \frac{4,5 \times 8}{6} = 6 \) cm

\( \frac{AC}{BD} = \frac{OA}{OB} = \frac{6}{4,5} = \frac{4}{3} \)

\( BD = \frac{3 \times 10}{4} = 7,5 \) cm

OD = 6 cm ; BD = 7,5 cm

Exercice 4 : Démontrer non-parallélisme

AM = 5 cm, AB = 12 cm, AN = 7 cm, AC = 16 cm. (MN) // (BC) ?

\( \frac{AM}{AB} = \frac{5}{12} ≈ 0,417 \)

\( \frac{AN}{AC} = \frac{7}{16} = 0,4375 \)

Rapports différents

NON, (MN) ∦ (BC)

Exercice 5 : Agrandissement avec aire

Un triangle d'aire 18 cm² est agrandi avec k = 2,5. Quelle est la nouvelle aire ?

Aire multipliée par k² = (2,5)² = 6,25

Nouvelle aire = 18 × 6,25 = 112,5 cm²

112,5 cm²

Exercice 6 : Problème avec périmètre

(MN) // (BC), AM/AB = 2/5, périmètre ABC = 30 cm. Calculer périmètre AMN.

Rapport k = 2/5

Périmètre AMN = k × Périmètre ABC

= (2/5) × 30 = 12 cm

12 cm

Exercice 7 : Calcul avec √

AM = 2√3 cm, AB = 6√3 cm, AN = 4 cm. Calculer AC sachant (MN) // (BC).

\( \frac{AM}{AB} = \frac{2√3}{6√3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{AN}{AC} = \frac{1}{3} \)

\( AC = 3 \times AN = 3 \times 4 = 12 \) cm

AC = 12 cm

Exercice 8 : Problème concret

Un poteau de 2m projette une ombre de 3m. À la même heure, un arbre projette une ombre de 15m. Quelle est sa hauteur ?

Configuration de Thalès (rayons du soleil //)

\( \frac{2}{3} = \frac{h}{15} \)

\( h = \frac{2 \times 15}{3} = 10 \) m

10 m

Exercice 9 : Réduction

Un plan est à l'échelle 1:50. Sur le plan, une longueur mesure 8 cm. Quelle est la longueur réelle ?

Rapport k = 1/50

Longueur réelle = 8 cm ÷ (1/50) = 8 × 50 = 400 cm = 4 m

4 m

⭐⭐⭐ Niveau 3 - Difficile

Exercices avancés

Exercice 1 : Problème complexe avec deux configurations

Triangle ABC, M sur [AB], N sur [AC], P sur [BC]

(MN) // (BC), (MP) // (AC)

AM = 3 cm, AB = 9 cm, BC = 12 cm. Calculer MN et BP.

Solution détaillée

Configuration 1 : (MN) // (BC)

\( \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \)

\( \frac{3}{9} = \frac{MN}{12} \)

\( MN = \frac{3 \times 12}{9} = 4 \) cm

Configuration 2 : (MP) // (AC)

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BP}{BC} \)

BM = AB - AM = 9 - 3 = 6 cm

\( \frac{6}{9} = \frac{BP}{12} \)

\( BP = \frac{6 \times 12}{9} = 8 \) cm

MN = 4 cm ; BP = 8 cm

Exercice 2 : Démonstration complète

Prouver que si M est le milieu de [AB] et (MN) // (BC), alors N est le milieu de [AC].

M milieu de [AB] → AM = AB/2

Donc AM/AB = 1/2

(MN) // (BC) → AM/AB = AN/AC (Thalès)

Donc AN/AC = 1/2

Donc AN = AC/2

Donc N est le milieu de [AC]

CQFD

Exercice 3 : Problème d'alignement

A(0;0), B(6;0), C(0;8), M(2;0), N(0;y). Pour quelle valeur de y, (MN) // (BC) ?

AM = 2, AB = 6 donc AM/AB = 2/6 = 1/3

Pour (MN) // (BC) : AN/AC = AM/AB = 1/3

AN/AC = y/8 = 1/3

y = 8/3 ≈ 2,67

y = 8/3

Exercice 4 : Double agrandissement

Un carré de côté 5 cm subit deux agrandissements successifs de rapports 1,5 puis 2. Quelle est l'aire finale ?

Rapport total = 1,5 × 2 = 3

Aire initiale = 5² = 25 cm²

Aire finale = 25 × 3² = 25 × 9 = 225 cm²

225 cm²

Exercice 5 : Calcul avec système

(MN) // (BC), AM = x, AB = 2x + 3, AN = x + 2, AC = 3x + 1. Trouver x.

\( \frac{x}{2x+3} = \frac{x+2}{3x+1} \)

\( x(3x+1) = (x+2)(2x+3) \)

\( 3x² + x = 2x² + 3x + 4x + 6 \)

\( 3x² + x = 2x² + 7x + 6 \)

\( x² - 6x - 6 = 0 \)

Solution positive: x ≈ 6,9

x ≈ 6,9

Exercice 6 : Problème de construction

Une échelle de 6m est posée contre un mur. Le pied est à 2m du mur. À quelle hauteur atteint-elle si on la recule de 1m ?

Position 1: h₁² + 2² = 6² → h₁ = √32 ≈ 5,66 m

Position 2: h₂² + 3² = 6² → h₂ = √27 ≈ 5,20 m

≈ 5,20 m

Exercice 7 : Aire avec Thalès

(MN) // (BC), AM/AB = 2/5. Aire ABC = 75 cm². Calculer aire AMN.

Rapport k = 2/5

Aire AMN = k² × Aire ABC

= (2/5)² × 75 = 4/25 × 75 = 12 cm²

12 cm²

Exercice 8 : Contraposée appliquée

Démontrer que si AM = 5, AB = 13, AN = 7, AC = 18, alors (MN) n'est pas // à (BC).

\( \frac{AM}{AB} = \frac{5}{13} ≈ 0,385 \)

\( \frac{AN}{AC} = \frac{7}{18} ≈ 0,389 \)

Les rapports sont différents

Par contraposée: (MN) ∦ (BC)

Démontré par contraposée

Exercice 9 : Problème de perspective

Un photographe de 1,75m se trouve à 3m d'un bâtiment. Sur la photo, le bâtiment mesure 12 cm. Si le photographe mesure 2 cm sur la photo, quelle est la hauteur réelle du bâtiment ?

Rapport photo/réalité pour le photographe:

k = 2 cm / 175 cm = 2/175

Hauteur bâtiment = 12 cm ÷ k

= 12 ÷ (2/175) = 12 × 175/2 = 1050 cm = 10,5 m

10,5 m