📖 Le cours
I. La translation
Définition
Une translation est une transformation qui fait glisser tous les points d'une figure dans la même direction, du même sens et de la même longueur.
Elle est définie par un vecteur \( \vec{u} \).
Si M' est l'image de M par la translation de vecteur \( \vec{u} \), alors \( \vec{MM'} = \vec{u} \)
Propriétés de la translation
Une translation conserve :
- Les longueurs : AB = A'B'
- Les angles : \( \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} \)
- Les aires
- Le parallélisme : si (AB) // (CD), alors (A'B') // (C'D')
- L'alignement
Exemple
Triangle ABC translaté de vecteur \( \vec{u} \) pour donner A'B'C'
→ A'B'C' est un triangle de mêmes dimensions que ABC
→ [AA'], [BB'] et [CC'] sont parallèles et de même longueur
Construction pratique
- Tracer le vecteur \( \vec{u} \) à partir d'un point de référence
- Reporter ce vecteur à partir de chaque sommet de la figure
- Relier les points obtenus
II. La symétrie axiale
Définition
La symétrie axiale d'axe (d) transforme un point M en un point M' tel que :
- (d) est la médiatrice de [MM']
- M et M' sont à égale distance de (d)
- (MM') est perpendiculaire à (d)
Propriétés de la symétrie axiale
Une symétrie axiale conserve :
- Les longueurs
- Les angles
- Les aires
- L'alignement
- Le parallélisme
Attention : Elle inverse l'orientation (figure "retournée")
Exemple
Un triangle ABC a pour symétrique A'B'C' par rapport à un axe (d)
→ Les deux triangles sont superposables par pliage selon (d)
→ Si ABC est orienté dans le sens horaire, A'B'C' est orienté dans le sens anti-horaire
Points particuliers
• Si un point M est sur l'axe (d), alors M' = M (le point est son propre symétrique)
• La figure et son image sont symétriques par rapport à l'axe
III. La symétrie centrale
Définition
La symétrie centrale de centre O transforme un point M en un point M' tel que :
- O est le milieu de [MM']
- M, O et M' sont alignés
- OM = OM'
Propriétés de la symétrie centrale
Une symétrie centrale conserve :
- Les longueurs
- Les angles
- Les aires
- L'alignement
- Le parallélisme
- L'orientation (contrairement à la symétrie axiale !)
Lien avec la translation
Une symétrie centrale de centre O est équivalente à :
- Une rotation de 180° autour de O
- Deux symétries axiales d'axes perpendiculaires passant par O
Exemple
La symétrique d'une droite (AB) par rapport à un point O est une droite (A'B') parallèle à (AB)
IV. La rotation
Définition
Une rotation est définie par :
- Un centre O (point fixe)
- Un angle α (mesure du tour)
- Un sens (horaire ou anti-horaire)
L'image M' de M est telle que : OM' = OM et \( \widehat{MOM'} = α \)
Propriétés de la rotation
Une rotation conserve :
- Les longueurs
- Les angles
- Les aires
- L'alignement
- L'orientation
Attention : Elle ne conserve PAS le parallélisme (sauf cas particuliers)
Construction pratique
- Placer le centre O de rotation
- Pour chaque point M, tracer le cercle de centre O et de rayon OM
- Placer M' sur ce cercle tel que \( \widehat{MOM'} = α \)
- Relier les points obtenus
Rotations particulières
- 90° (quart de tour) : très utilisée en géométrie
- 180° (demi-tour) : équivaut à une symétrie centrale
- 360° (tour complet) : identité (figure inchangée)
V. L'homothétie
Définition
Une homothétie est définie par :
- Un centre O
- Un rapport k (nombre réel non nul)
L'image M' de M est telle que : \( \vec{OM'} = k \times \vec{OM} \)
Propriétés de l'homothétie
Une homothétie de rapport k :
- Multiplie les longueurs par |k|
- Conserve les angles
- Multiplie les aires par k²
- Multiplie les volumes par k³
- Conserve le parallélisme
- Conserve l'alignement
Types d'homothétie
- Si k > 0 : agrandissement (si k > 1) ou réduction (si 0 < k < 1)
- Si k < 0 : agrandissement/réduction + symétrie centrale
- Si k = 1 : identité (figure inchangée)
- Si k = -1 : symétrie centrale de centre O
Exemple
Triangle ABC avec homothétie de centre O et rapport k = 2
→ Triangle A'B'C' avec :
- A'B' = 2 × AB
- Aire(A'B'C') = 4 × Aire(ABC)
- (A'B') // (AB)
VI. Composition de transformations
Définition
On peut composer (effectuer successivement) plusieurs transformations.
L'ordre est important : f ∘ g ≠ g ∘ f en général
Résultats remarquables
- Deux translations successives = une translation
- Deux symétries axiales d'axes parallèles = une translation
- Deux symétries axiales d'axes sécants = une rotation
- Deux rotations de même centre = une rotation
- Deux homothéties de même centre = une homothétie
Exemple classique
Deux symétries axiales d'axes perpendiculaires sécants en O
→ Équivaut à une rotation de 180° de centre O
→ Équivaut à une symétrie centrale de centre O
VII. Tableau récapitulatif
Propriétés conservées
| Transformation | Longueurs | Angles | Aires | Parallélisme | Orientation |
|---|---|---|---|---|---|
| Translation | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Symétrie axiale | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ |
| Symétrie centrale | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Rotation | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | ✓ |
| Homothétie | ×k | ✓ | ×k² | ✓ | ✓ si k>0 |
📔 Cahier d'élève
💪 S'entraîner
Exercices de base
Exercice 1 : Translation
Un point A a pour image A' par translation de vecteur \( \vec{u} \).
Si AA' = 5 cm, quelle est la longueur du vecteur \( \vec{u} \) ?
Solution détaillée
Par translation de vecteur \( \vec{u} \), on a \( \vec{AA'} = \vec{u} \)
La longueur du vecteur \( \vec{u} \) est égale à AA'
Donc \( \|\vec{u}\| = 5 \) cm
Exercice 2 : Symétrie axiale
Un point M est à 3 cm d'un axe (d). Quelle est la distance de son symétrique M' à (d) ?
Solution détaillée
M et M' sont à égale distance de l'axe (d)
Si M est à 3 cm de (d), alors M' est aussi à 3 cm de (d)
Exercice 3 : Symétrie centrale
Symétrie de centre O : OM = 4 cm. Calculer OM'.
Par symétrie centrale, O est le milieu de [MM']
Donc OM = OM' = 4 cm
Exercice 4 : Conservation des longueurs
Un segment [AB] de longueur 7 cm subit une translation. Quelle est la longueur de [A'B'] ?
La translation conserve les longueurs
Donc A'B' = AB = 7 cm
Exercice 5 : Rotation
Point M à 5 cm du centre O. Après rotation de centre O, quelle est la distance OM' ?
Une rotation de centre O conserve les distances au centre
Donc OM' = OM = 5 cm
Exercice 6 : Homothétie k = 3
Segment AB = 4 cm. Par homothétie de rapport k = 3, calculer A'B'.
L'homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k
A'B' = k × AB = 3 × 4 = 12 cm
Exercice 7 : Conservation des angles
Angle \( \widehat{ABC} = 60° \). Par translation, quel est l'angle \( \widehat{A'B'C'} \) ?
La translation conserve les angles
Donc \( \widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 60° \)
Exercice 8 : Parallélisme
Droites (AB) // (CD). Par translation, les images (A'B') et (C'D') sont-elles parallèles ?
La translation conserve le parallélisme
Donc (A'B') // (C'D')
Exercice 9 : Aire
Triangle d'aire 12 cm² subit une symétrie axiale. Quelle est l'aire de l'image ?
La symétrie axiale conserve les aires
Aire de l'image = 12 cm²